Кроме того, выколотая ось заключает в себе изолированное направление и тем самым удовлетворяет двум теоремам Гельмгольца.

Пелена от свободных вихрей может быть поверхностью вихрей с пространственной циркуляцией.

Скорость потока в точках x поверхности s будет направлена по касательной к поверхности s

Отсюда величина скорости равна (рис. 29)

и двойной интеграл по поверхности будет определять давление на всю конечную область пространства, ограниченную этой поверхностью,

Вектор, комплексно-сопряженный вектору подъемной силы, выразится

Это и будет классическая формула А.С. Чаплыгина в пространстве для подъемной силы, действующей на тело, охватываемое произвольно замкнутой поверхностью.

Рис. 38. Обтекание сферы пространственным потоком, вызывающее на ее поверхности циклонный вихрь. Траектории частиц циклонного вихря отвечают простейшей пространственной кривой

и основанная на нем теорема о вычетах

поэтому из лорановского разложения скорости в окрестности изолированной бесконечно удаленной точки

вклад в решение вносят только два первых члена (взятые в фигурные скобки).

В зависимости от выбора исходных углов атаки y и q сферы пространственным потоком и их знаков получим различные выражения комплексного потенциала. Однако остановимся на варианте исследований, которые содержат в себе частный случай плоского варианта.

Тогда из формулы Жуковского получим потенциал, описывающий бесциркуляционное обтекание сферы

получим окончательное решение задачи по определению потенциала потока в пространстве

Скорость потока для этого потенциала выражается сопряженной скоростью

Случай, когда скорость будет выражаться суммой двух потоков, пока не рассматривается

Исследуем решение по двум вариантам определения критических точек в пространственном обтекании сферы сплошным потоком.

Первый вариант соответствует классическому решению — критические точки потока там, где скорость потока равна нулю

Для этого варианта получаем уравнение.

решая которое, получаем выражение для отыскания критических точек потока

Видно, что расположение критических точек зависит от величины циркуляции Г. Рассмотрим случай, когда величина циркуляции равна

(корень в числителе обращается в нуль).

Критические скорости располагаются на сфере. Рассмотрим этот случай более подробно.

Произведем преобразование фигурных скобках

Для сокращения записи введем обозначения:

Преобразуем величину, содержащую циркуляцию

где

С учетом введенных обозначений, производная примет вид

Определим модуль выражения

Приравняем величину, стоящую под корнем нулю и получим циркуляцию

В результате величина циркуляции выразится

Формула инвариантна относительно осей координат. При переходе к плоскости z получим в обоих случаях решение Н.Е. Жуковского:

(в обоих случаях взят знак минус квадратного корня).

При положительном знаке квадратного корня имеем величину, которая превышает классический плоский вариант:

Второй вариант связан с наличием в пространстве изолированной оси, которая может трактоваться как вихревой шнур естественной циркуляции. Дискретные точки делителей нуля по своей природе имитируют в пространстве наличие крутящего момента, что и определяет третье условие для определения критических точек потока. Первые два условия:

реализованы как в плоскости комплексного переменного, так и в пространстве

В этом случае делители нуля можно трактовать как причины вихреисточника. Согласно свойствам этих элементов и их геометрической иллюстрации при обтекании пространственного тела сплошной средой возникают на некоторых линиях такие условия обтекания, когда скорость разлагается на два взаимно перпендикулярных вектора, не имевших векторной суммы и приложенных к разным точкам, расположенным в окрестности точек той линии, на которой эти условия возникают. Образовавшееся плечо приводит к образованию крутящего момента в точке. Каждая среда имеет свою критическую скорость и свой радиус вы колотой оси.

Равенство производной от комплексного потенциала делителям нуля отвечает нахождению в решении критических линий потока. В этом коренное отличие решения в пространстве.

Таким образом, комплексный потенциал с учетом принятых обозначений

равен делителям нуля при выполнении условия

Выражение для циркуляции принимает вид

Выражение содержит частные случаи плоскопараллельного обтекания:

Решение содержит классические решения как частный случай.

Потенциал потока в пространстве (2.4.) в виде (2.3.) дает скорость

В соответствии с формулой (2.2.) и теорией о вычетах в этом выражении используется два

И величина подъемной силы будет выражена как

Формула значительно отличается от формулы Жуковского

Представленное решение показало, что математические объекты - делители нуля, получили свое гидродинамическое толкование как источники вихря. Кроме того, выражение циклической постоянной, выбранное в главе 1, равное

соответствует физическому смыслу, ибо в противном случае при переходе к частным случаям из пространства к плоскости выражения не имели бы прежнего вида. Определение простейшей кривой С в пространстве также оправдано.

Проведенные решения показывают, что методика Н.Е. Жуковского реализуется в пространстве любого числа измерений. Введение новой размерности пространства уточняет решение и является методом введения структурных взаимодействий в этом сложном процессе, таким, например, как взаимодействие поверхностного слоя с потоком и с поверхностью тела.

В этом случае надо также учитывать, что контурные интегралы дают круг решений в дозвуковой области, а если применять объемный интеграл Коши

и теорему о вычетах в форме