В. И. ЕЛИСЕЕВ

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[Оглавление][Блог]

В продаже новые книги автора на Amazon.com

Amazon.com

- Елисеев В.И. Числовое поле. Введение в ТФКПП.

- Елисеев В.И. Оси координат физической реальности.


Продолжение 3 из 3. 1.7.3. Вычисление определенных двойных интегралов с помощью вычетов.

Вычислим ряд криволинейных интегралов. , где функцию возьмем последовательно равной . Раскладывая дробь на сумму простейших дробей относительно полюсов дроби в пространстве , будем иметь

,

где сумма после двух дробей учитывает полюса дроби , при равенстве знаменателя нулю в изолированном направлении . Корни знаменателя дроби ,являются полюсами функции подынтегрального выражения при условии если кривая натянута на поверхность , которая заключает в себе область со всеми точками, определяемыми в пространстве этими корнями. Функции регулярны в этих точках. Составим интеграл для первой функции , к интегралам можно применить формулу Коши

.

Вычисляем следующий интеграл для функции

Для функции имеем . Для функции .

Разложение подынтегральной функции на четыре дроби, две из которых представляют разложение по изолированному направлению в пространстве и дальнейшее вычисление интеграла показывают , что сумма первых двух интегралов от разложения равна сумме интегралов по изолированному направлению. Это в том случае, если область интегрирования , охватываемая пространственной кривой , содержит все пространственные полюса. Если область G заключена между поверхностями ,натянутыми на эквидестантные кривые , то для полюсов функции справедлива формула .

Применим эту формулу к расчету первого интеграла для различных областей . Предположим, что кривая натянута на поверхность сферы радиуса а кривая на поверхность сферы радиуса . В этом случае область G содержит две точки ,которые являются полюсами подынтегральной функции. Интеграл по кривой распадается на разность двух интегралов по кривой и кривой . Кривые подобны кривой

, Используя разложение подынтегральной функции на дроби в пространстве , получим выражение для суммы вычетов функции

Подставляя в интеграл, получим .

Если область G заключена между поверхностями , натянутыми на кривые , со сферическими радиусами соответственно , то подынтегральная функция будет иметь один полюс .Интеграл будет равен .

Произведем выделение первых мнимых и действительных частей в правой и левой части вычисленного интеграла. Предварительно проведем операции и введем обозначения для сокращения записи формул. ,где .

где

В этих обозначениях проведем выделение мнимой и действительной частей подынтегральной функции

. Подставим в исходный интеграл и приравняем правые и левые действительные и мнимые части

.

Определим проекцию интеграла по кривым на плоскость Z . В этом случае надо принять

. Проекция пространственного интеграла на плоскость Z равна

. При отображении область между двумя концентрическими сферами перейдет в область между двумя окружностями. Область будет содержать полюса функции в плоскости Z .Интеграл можно вычислить по формуле Коши.

.

Рассмотрим проекцию интеграла на изолированную ось ,которая также представляет комплексное плоское пространство. Проекция одновременно является мнимой частью пространственного интеграла

.

Комплексная ось имеет две изолированные точки . Если точки входят в область определения интеграла, то по интегральной формуле Коши его можно вычислить

. Мнимая часть от пространственного интеграла также равна этой величине. Результаты совпадают. Рассмотрим результаты вычислений проекций на комплексные плоскости Z,, через пространственный интеграл, и сравним их с вычислениями этих проекций в плоскостях для различных областей определения пространственного интеграла.

Область охватывает только одну изолированную точку . В этом случае

,

.

,

.

Если область определения интеграла включает в себя три изолированные точки , то имеем

Если область определения пространственного интеграла содержит все изолированные точки

В пункте 1.7.2 рассмотрена связь изолированных точек в пространстве на примере рис 32 и рис33. Изолированные точки проектируются особым образом в точки .Поверхность сферы , изолирующая особую точку в пространстве , разделяется на нижнюю и верхнюю полусферу . Соответственно этому ведут себя и пространственные кривые , окружающие эти точки. При проектировании на плоскость Z эти полусферы в зависимости от их расположения переходят в нижнюю или верхнюю полусферу точек , лежащих в этой плоскости. Этим объясняется расхождение результатов интегрирования в пространстве от вычислений интегралов от проекций подынтегральной функции на плоскости Z или .Решение квадратного уравнения в плоском пространстве не содержит пространственных корней , определяемых на основе существования делителей нуля. В то же время изоляция полюса окружностью малого радиуса в плоскости есть след третьей изолированной оси на плоскости .

Если функция представлена как частное от деления двух многочленов степени n и m,

, то для сходимости интеграла в плоскости Z необходимо, чтобы степень многочлена в знаменателе функции превышала степень многочлена числителя на две единицы

и функция может в пределе рассматриваться в виде

,, , где к-целое. В этом случае модуль при достаточно больших R.

Тогда имеем

Тем самым выявлено условие сходимости интеграла и доказана лемма

,

где .

[Следующий параграф]


Мини оглавление:

[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11

Вы можете скачать книгу целиком на свой компьютер в виде PDF файла (10.3Mb / 541 страниц) (31 Авгутста 2003). Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки.Приносим особые благодарности Туристической Компании "Gallery Of Destinations" за оказанную финансовую поддержку в издании книги. Сайт действует с 10 августа 1998.

E-mail: mathsru@gmail.com

Rambler's Top100 Service