В. И. ЕЛИСЕЕВ

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[Оглавление][Блог]

В продаже новые книги автора на Amazon.com

Amazon.com

- Елисеев В.И. Числовое поле. Введение в ТФКПП.

- Елисеев В.И. Оси координат физической реальности.


1.5. Изолированные особые точки в пространстве.

В пространстве точка называется изолированной особой точкой функции ,если существует окрестность этой точки, в которой аналитична, кроме самой точки . Окрестность из круга в плоскости Z превращается всферу . Если существует конечный предел функции в точке , то точка называется устранимой.

Вопрос об определении и классификации изолированных особых точек функции в пространстве оставляет без изменения теоремы, так как речь идет только о способе отыскания этих особых точек. Точка называется полюсом функции , если . Для изолированного направления существует бесконечный делитель. Если

. Для того, чтобы точка была полюсом функции необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем для функции . Точка нуль в пространстве определяется еще одним условием , поэтому для изолированного направления функция должна представлять произведение делителей нуля. Бесконечность в пространстве представляется также как произведение двух бесконечных делителей .

Точка называется полюсом порядка , функции , если эта точка является нулем порядка для функции . При n=1 полюс называется простым.

Если функция имеет порядок нуля равный , то она представима в виде

, где функция аналитична в точке и .

Дробная функция или мероморфная не имеют других особенностей, кроме полюсов. Примером мероморфных функций остаются все целые функции и дробно-рациональные, тригонометрические функции и др. Алгебраическая комбинация мероморфных функций сумма, разность, произведение и частное двух мероморфных функций снова являются функцией мероморфной.

Мероморфная функция имеет конечное число полюсов. Разложение мероморфной функции в ряд имеет следующий вид

.

Наибольший из показателей степеней у разностей , стоящих в знаменателе членов главной части ряда Лорана совпадает с порядком полюса функции.

Если функция имеет бесконечное число членов главной части Лорановского разложения в окрестности точки, то эта точка считается устранимой особой точкой.

Существенно особой точкой считается точка, в которой функция не имеет предела ни конечного ни бесконечного.

Неравенство Коши.

Неравенство Коши остается в силе и в пространстве Y. Обозначим через М максимум функции

в области G пространства. Через R обозначим расстояние точки до границы области. Тогда поверхность сферической области будет равна . Подставим в формулу

. Откуда получаем-конкретная точка в области G. Следствием этого неравенства являются две теоремы.

Теорема. Если функция аналитична во всем пространстве и ограничена, то она постоянна.

Доказательство: Для первой производной согласно формуле имеем .

По условию теоремы M –ограничено, а при увеличении R модуль может быть сколь угодно мал . Откуда следует, что во всем пространстве . Выразим это соотношение через двойной интеграл

При рассмотрении двух точек : равных соответственно , где -малое, подынтегральная функция может быть представлена как разность двух дробей

, так что интеграл выражается через разность двух интегралов

.

Полученное выражение отвечает формуле производной при стремлении , которая равна нулю, поэтому . Что и требовалось доказать.

[Следующий параграф]


Мини оглавление:

[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11

Вы можете скачать книгу целиком на свой компьютер в виде PDF файла (10.3Mb / 541 страниц) (31 Авгутста 2003). Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки.Приносим особые благодарности Туристической Компании "Gallery Of Destinations" за оказанную финансовую поддержку в издании книги. Сайт действует с 10 августа 1998.

E-mail: mathsru@gmail.com

Rambler's Top100 Service