1.4.1. Теорема Н. Абеля.

В. И. ЕЛИСЕЕВ

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[Оглавление]

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и в любой точке , расположенной ближе к центру , чем , причем в любой сфере , где , сходимость ряда равномерна.

Понятие области сферы в пространстве неразрывно связано с простейшей замкнутой кривой Под областью G сферы понимается область пространства, находящейся внутри замкнутой поверхности , натянутой без точек самопересечения на кривую , то есть эта область определяется как и представляет область сферы с выколотой изолированной осью, проходящей через точку Предположим произвольная точка области G и представим n –ый член ряда в виде

В силу сходимости в точке член ограничен по модулю и стремится к нулю. Кроме того

и следовательно для всех n имеем .Откуда вытекает равномерная сходимость на сфере . Так как, K может быть сколь угодно близким к 1, то имеем .Из теоремы Абеля, перенесенной в пространство следует, что областью сходимости степенного ряда является сфера с центром в точке радиуса R, равного радиусу сходимости ряда.

Радиус сходимости определяется по формуле . Следовательно ряд будет сходиться в области сферы в пространстве . Это верхняя граница сходимости.

Нижняя граница сходимости определяется как . Для изолированного направления

Область сходимости будет определяться как . Радиус сходимости становится коэффициентом перед делителем нуля. Нижняя граница .

При разложении функции в ряд по степеням , происходит перенос изолированной оси в точку . Этот перенос и определяет область сходимости ряда G

Справедливо следующее утверждение: Однозначная аналитическая функция в области G разлагается в окрестности точки в степенной ряд Тейлора

, где коэффициенты ряда определяются формулами

или

, кривая натянута на сферу радиуса , которая имеет центром точку и целиком лежит в окрестности этой точки. Радиус сферы сходимости определяется расстоянием от точки до ближайшей особой точки функции в пространстве , либо до ближайшей особой точки, расположенной на изолированной оси. Остаются в пространствесправедливыми следующие разложения элементарных функций классического анализа

в точке.

(1.58.)

Эти соотношения имеют место во всем комплексном пространствеи имеют место на множестве делителей нуля. Непосредственным вычислением производных получим разложение в точке

(1.59.)

,в частности при ,получим

.Радиус сходимости этих функций равен 1. Ближайшими особыми точками для них служат , а также точка . Функции и др., представленные сходящимся степенным рядом во всем пространстве, будут называться целыми функциями.

Сумма, разность и произведение целых функций дают целые функции. Это свойство широко используется при разложении в степенные ряды.

Рассмотрим ряд примеров. Функция представляется степенным рядом ,сходящимся во всем пространстве .Рассмотрим сходимость ряда на конусе делителей нуля (или на изолированной оси). Определим и воспользуемся формулой возведения делителей нуля в целую степень n, согласно таблице

Подставим данные соотношения в исходный ряд

. Коэффициент определяет радиус сходимости ряда по изолированной оси и определяет расстояние от нуля до особой точки на этой оси.

Таким образом, в области определяемой делителями нуля, ряд также имеет бесконечный радиус сходимости. Если , то имеем , так как

, естественно, что в этих выражениях рассматривается без делителей нуля.

Далее имеем

Складывая и вычитая эти два равенства получим

Учитывая, что функция получим

Таким образом, получено выражение для первой комплексной части при разложении функции

в ряд по изолированному направлению. Вторая комплексная часть получается аналогичным образом

В комплексной плоскости Z разложение функции в окрестности точки представляется рядом Тейлорав круге сходимости радиуса R ( то есть для всех точек этого круга). Центр окружности Г круга сходимости находится в точке . Эта окружность проходит через особую точку функции , ближайшую к точке . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле , где n =0,1,2, ….В пространстве круг сходимости радиуса R заменяется на сферу сходимости радиуса R, так что для всех в сфере сходимости имеем Однако необходимо подчеркнуть еще раз, в сфере сходимости из точки исходит изолированное направление, которое записывается в виде делителей нуля , где в этом случае параметры не содержат условий, приводящих к делителям нуля. Точка может быть любой из пространства . В этом случае подставляя в ряд будем иметь Радиус сходимости этого ряда определяется из соотношения . В пределах этого радиуса точка определяется параметрами не дающими изолированного направления. Радиус сходимости по изолированному направлению сокращен в два раза по отношению к обычному радиусу. Ряд сходится для всех точек начиная от окрестности точки до точки

При разложении в ряд Тейлора функции по изолированному направлению, целесообразно разложение производить отдельно первой и второй комплексных частей.

. Рассмотрим ряд характерных примеров.

Пример. Рассмотрим разложение логарифмической функции на конусе делителей нуля. Согласно имеем

Известно, что ряд сходится в области сферы радиуса , за вычетом изолированного направления. Исследуем поведение ряда в делителях нуля. Обозначим . Раскроем левую часть

. Замена переменных на z сделана на основании свойства изолированного аргумента. Подставим в правую часть получим

Если , ряд сходится и имеет радиус сходимости равный . Приравнивая комплексные части с левой и правой стороны получим

Таким образом, чтобы не было противоречий в разложении исходной функции как единого пространственного комплекса необходимо доказать, что вторая комплексная часть в левой стороне равна первой, а именно в комплексной плоскости имеем

, что и требовалось доказать. Одновременно получено следующее соотношение

Пример.

, ряд сходится во всем пространстве . Исследуем сходимость ряда в подпространстве делителей нуля. Заменим в левой и правой частях равенства

, так как функция есть четная функция и. Первая комплексная часть равна

. Произведем замену

, получим

Разлогая в ряд экспоненциальные функции получим

, радиус сходимости этого ряда равен

. Область сходимости по изолированному направлению равна бесконечности.

Пример. Ряд имеет радиус сходимости сферы . По изолированному направлению ряд запишется в виде

, радиус сходимости этого ряда равен .

[Следующий параграф]

Мини оглавление:

[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]

Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.

E-mail: mathsru@gmail.com