Продолжение 2 из 3. 1.7.3. Вычисление определенных двойных интегралов с помощью вычетов.

В. И. ЕЛИСЕЕВ

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[Оглавление]

В результате имеем выражение для интеграла , на основании Леммы.

Вычислим интегралы .

Имеем

Вычисляем интегралы

Эти интегралы берутся со знаком минус ,как интегралы взятые по поверхности с выпуклостью во внутрь области , ограниченной поверхностями в интегральном равенстве. Собирая результаты вычислений интегралов , получим

Приравнивая мнимые и действительные части правой и левой части равенства , получим

Вычисление интеграла показывает, что разложение функции на эквивалентные выражения в полном пространстве можно и не производить и ограничиться обычным разложением .Это в принципе прямое доказательство , что вычет изолированного направления влечет за собой вычет критических точек ,определенных из условия существования в пространстве делителей нуля.

Пример 2. Вычислить интеграл .Подынтегральная функция равна функции в рассмотренном выше примере . Поверхность S , образующая область сферы радиуса , охватывает все критические точки подынтегральной функции .Поэтому интеграл по теореме Коши равен сумме вычетов подынтегральной функции во всех критических точках.

где функции , а также полюса вычислены выше в примере. Раскрывая введенные обозначения , последовательно будем иметь

Этот результат был бы получен ,если использовать только одно эквивалентное разложение( ограничиваясь первой суммой ,умноженной на 2)

Переменная содержит все пространственные направления , в том числе и изолированные. В соответствии с формулами 1.40, 1.41 переменная в сферических координатах выразится в виде . Преобразуем это выражение, с выделением изолированного направления.

Переменная представляет сумму двух взаимно противоположных изолированных направлений. В этом случае все параметры являются действительными числами. Это представление позволяет вычислить интеграл с других позиций. Подынтегральная функция не регулярна в точке , а также в точках . Поэтому подынтегральная функция раскладывается на сумму двух выражений .

Знаменатель первой дроби не содержит изолированных направлений. Модуль в этом случае равен нулю при . Модуль переменной во второй дроби не равен нулю . Разложим вторую дробь на простейшие дроби .

Выше было показано, что переменная содержит изолированные направления и может быть представлена в виде их суммы, поэтому знаменатели дробей заменим выражениями

Составим интеграл

Параметры в полярных координатах на замкнутой кривой изменяются в пределах Интеграл от первой дроби ,которая не содержит изолированного направления , равен

. Параметры действительны, параметр исключен из рассмотрения на основании выводов по исследованию функции аргумента и формулы 1.41.Также как и в предыдущем случае он не дает приращения на замкнутой кривой. В результате интеграл равен

Разложение переменной на сумму двух изолированных направлений определяет в пространстве наличие мнимых поверхностей радиуса Рассмотрим несколько пространственных точек на кривой . В сферических координатах при , имеем в соответствии с формулами (1.40), (1.41).Переменная выразится в виде и мы имеем нижний полюс сферы. При имеем верхний полюс сферы и

При значении имеем также верхний и нижний полюса сферы. При имеем . Определим аргумент F .

Собирая все параметры в одну формулу, получим вершины мнимой сферы

. Этот вывод можно получить минуя формулы (1.40, 1.41) непосредственно через выражение переменной в цилиндрических координатах

Далее если воспользоваться формулой (1.16), то выражение примет вид . Это выражение определяет все точки мнимой сферы.

[Следующий параграф]

Мини оглавление:

[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]

Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.

E-mail: mathsru@gmail.com