 |
В. И. ЕЛИСЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
10.1. Расширение поля комплексных чисел. Исследование необходимых и достаточных условий расширения поля комплексных чисел.
Новая система чисел. Обоснование введения мнимых единиц и их взаимосвязь.
ТЕОРЕМА
Пространственное поле чисел представляется комплексом
,
где
I,J –мнимые единицы (отличаются только обозначением) являются корнями уравнения
,
произведение мнимых единиц обладает свойством коммутативности
и является решением уравнения 
, а
сумма и разность мнимых единиц в произведении дают ноль.
Доказательство
Доказательство включает три основных положения: необходимость введения мнимой единицы
J, которая отличается от мнимой единицы I только обозначением и является также решением квадратного уравнения
; обосновать наличие нетривиального решения квадратного уравнения 
в виде произведения мнимых единиц и коммутативность этого произведения 
; исследование свойств делителей нуля и показ, что алгебраические операции над делителями нуля подчиняются законам алгебры действительных чисел.
Расширение поля действительных чисел происходит за счет присоединения к ним мнимой единицы
I, которая не лежит на действительной оси и является решением квадратного уравнения, так что имеем 
При этом квадратное уравнение разлагается на линейные множители
Если Х равен одному из корней, то один из множителей равен нулю. Это тривиальный результат. Любое другое значение Х не дает решение.
Однако до сих пор
Остается нерассмотренный вариант равенства нулю двух множителей не равных нулю
,
а в произведении дающих нуль. В этом случае имеем два несовместных уравнения ( одновременно не выполняются выражения), например
Это условие диктует введение второй мнимой единицы.
Поэтому вводится мнимая единица
J, которая не лежит в действительных областях чисел X,Y и также как мнимая единица I является решением квадратного уравнения
Таким образом, квадратное уравнение разлагается на линейные множители не равные нулю, но в произведении дающие ноль
Сомножители являются делителями нуля. Для того, чтобы пространственное число образовывало поле чисел необходимо также доказать, что делители нуля подчиняются законам алгебры действительных и комплексных чисел в смысле Коши.
Мнимые числа одновременно являются решением квадратного уравнения, как его корни, так и дают равенство его нулю при разложении на линейные множители, представляющие сумму и разность этих чисел. Таким образом, третье условие равенства нулю двух множителей, одновременно не равных нулю, а также наличие корня квадратного уравнения одновременно с этим условием обосновывает введение второй мнимой единицы.
Докажем второе положение. Во первых:
Действительные числа и мнимые единицы, которые также являются числами, подчиняются закону коммутативного умножения, так как в противном случае не будет выполняться третье условие равенства нулю двух множителей одновременно не равных нулю. Поэтому
.
Можно записать
Четвертая единица
делает алгебраическую систему замкнутой, не требуется введения новых мнимых единиц. При этом имеем 
.
Квадратное уравнение
должно иметь решение, как в действительной области чисел, так и в пространстве. В плоском комплексном пространстве корень из +1 записывается в виде
Эта формула справедлива при условии, когда отсчет корней начинается от аргумента равного нулю. В тривиальном случае принимается любое число в нулевой степени равно единице, так что 
. Этот вариант извлечения корня требует уточнения.
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]
Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: mathsru@gmail.com